数学题型分类大纲

1.1 函数

函数的性质

• 奇偶性判定与应用
• 周期性判定与推导
• 单调性与有界性分析

1.2 极限

极限的概念与性质

• 局部保号性与有界性的证明与应用

函数极限的计算

• 有理化与四则运算恒等变形
• 等价无穷小替换（含广义等价无穷小）
• 洛必达法则的应用
• 泰勒公式（麦克劳林展开）的应用
• 幂指函数极限（$1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$ 型，化为指数形式）
• 提取公因式与抓大头逻辑

数列极限的计算

• 夹逼定理的应用
• 单调有界准则的证明与递推数列极限
• 利用定积分定义求数列极限
• 级数求和转化为数列极限

1.3 连续

连续性与间断点

• 分段函数分界点连续性判定
• 间断点的判定与分类（第一类、第二类）

闭区间连续函数性质

• 零点定理判定根的存在性
• 介值定理与最值定理的应用

2.1 导数与微分概念

导数定义

• 凑定义法求极限
• 左右导数判断分段点可导性

微分概念

• 可微、可导与连续的关系判定

2.2 导数计算

复杂函数求导法则

• 复合函数链式法则
• 隐函数求导法
• 参数方程求导法
• 对数求导法（处理多项连乘或幂指函数）

高阶导数

• 莱布尼茨公式应用
• 常见函数高阶导数递推与展开

2.3 微分中值定理的应用

中值定理证明

• 罗尔定理结合构造辅助函数
• 拉格朗日中值定理与有限增量公式
• 柯西中值定理的应用（双函数分离）
• 泰勒中值定理的应用（处理高阶导数或不等式）

2.4 导数的应用

函数性态分析

• 单调区间与极值点求解
• 凹凸区间与拐点求解
• 渐近线求解（水平、垂直、斜）

方程根与不等式

• 零点定理结合单调性判断根的个数
• 利用导数与极值证明函数不等式

物理与几何应用

• 曲率与曲率半径计算
• 最值问题与实际应用建模
• 相关变化率问题建模与求解 (注：考研数二/数三常考)

经济学应用 (注：考研数三专属)

• 边际分析（边际成本、边际收益、边际利润）
• 弹性分析（需求弹性与收益的关系）

3.1 不定积分计算

积分法

• 第一换元法（凑微分）
• 第二换元法（三角代换）
• 第二换元法（根式代换与倒数代换）
• 分部积分法（反对幂指三排序法则）

特殊类型函数积分

• 有理函数部分分式展开积分

3.2 定积分计算与性质

定积分特殊计算技巧

• 利用奇偶性与周期性化简
• 华里士公式（点火公式）
• 区间再现公式
• 定积分的递推公式推导与计算（如 $\int \sin^n x \, dx$）

变限积分

• 变限积分函数求导（结合复合函数）
• 变限积分求极限（结合洛必达法则）

3.3 反常积分（广义积分）

敛散性判定与计算

• 无穷区间反常积分计算与比较判别法
• 无界函数（瑕积分）计算与比较判别法

3.4 定积分的应用

几何应用

• 微元法建立积分式
• 平面图形面积计算（直角/极坐标/参数方程）
• 旋转体体积计算（微元法/套筒法）
• 平面曲线弧长与旋转体侧面积

物理应用

• 变力做功、水压力、引力计算

4.1 向量代数

向量运算

• 数量积、向量积、混合积计算与几何意义

4.2 平面与直线

位置关系与方程

• 求平面方程（点法式、截距式）
• 求直线方程（点向式、一般式）
• 点、线、面之间的距离与投影计算

4.3 空间曲面与曲线

几何图形特征

• 旋转曲面与柱面方程推导
• 空间曲线在坐标面上的投影柱面与投影曲线

5.1 概念与偏导数计算

多元微分学基本概念

• 重极限求解与不存在的证明（特定路径逼近）
• 偏导数定义求法（涉及分段点或绝对值）
• 全微分存在性判定与计算

复杂函数求偏导

• 多元复合函数链式法则（画树状图法）
• 隐函数存在定理与公式法求导
• 隐函数方程组求导（克莱姆法则与雅可比行列式应用）
• 全微分形式不变性的应用

5.2 多元微分应用

极值与最值

• 无条件极值判定（Hesse矩阵判别法）
• 条件极值（拉格朗日乘数法）
• 闭区域上的最值计算（边界与内部比较）

几何应用 (注：考研数一)

• 空间曲线的切线与法平面方程
• 曲面的切平面与法线方程
• 方向导数与梯度计算

6.1 二重积分

二重积分计算

• 直角坐标系下的计算与积分次序交换（X型/Y型）
• 极坐标系下的计算与极点位置划分
• 利用普通对称性与轮换对称性化简

6.2 三重积分 (注：考研数一)

三重积分计算

• 直角坐标系计算（先一后二/先二后一）
• 柱面坐标系与球面坐标系代换

6.3 曲线积分 (注：考研数一)

线积分计算

• 第一类曲线积分直接参数代入法
• 第二类曲线积分计算
• 格林公式的应用与补线法
• 曲线积分与路径无关的判定与原函数求解

6.4 曲面积分 (注：考研数一)

面积分计算

• 第一类曲面积分投影代入法
• 第二类曲面积分的高斯公式与补面法
• 斯托克斯公式（线面转化）

6.5 多元积分学的应用

几何应用

• 曲面面积的计算（二重积分投影法）

物理应用 (注：考研数一/数二常考)

• 质心与形心坐标计算（二重/三重/曲线/曲面积分）
• 转动惯量计算
• 引力计算

7.1 常数项级数

敛散性判别

• 正项级数判别（比较、等价代换、比值、根值）
• 交错级数判别（莱布尼茨定理）
• 绝对收敛与条件收敛的综合判定

7.2 幂级数

收敛域与求和

• 收敛半径与收敛区间计算
• 逐项求导与逐项积分求和函数（先导后积/先积后导）

函数展开

• 利用标准展开式进行间接展开（泰勒/麦克劳林）

7.3 傅里叶级数 (注：考研数一)

傅里叶展开

• 狄利克雷条件计算收敛点的值
• 周期函数与奇、偶函数展开为正弦/余弦级数

8.1 一阶微分方程

求解方法

• 变量分离法
• 齐次方程代换法 ($u=y/x$)
• 一阶线性方程常数变易法（公式法）
• 伯努利方程降次代换
• 全微分方程求原函数

8.2 可降阶的高阶微分方程

降阶代换

• $y^{(n)}=f(x)$ 型
• 缺 $y$ 型 $y''=f(x,y')$ 降阶代换
• 缺 $x$ 型 $y''=f(y,y')$ 降阶代换

8.3 高阶线性微分方程

常系数线性微分方程

• 二阶常系数齐次方程特征方程法
• 二阶常系数非齐次方程待定系数法（判断特征根重数）
• 线性微分方程解的性质与结构（解的叠加原理）

变系数线性微分方程

• 欧拉方程 (注：考研数一)

8.4 差分方程 (注：考研数三专属)

一阶常系数线性差分方程求解

• 齐次与非齐次方程的通解推导